Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

Paso 1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

Paso 2

Establece el argumento en $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

Paso 3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ como ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 3.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 3.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 3.3.4.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 3.3.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 3.3.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 3.3.6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 3.3.7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 3.3.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 3.3.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 3.3.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3.3.9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3.3.10

Consolida las soluciones.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3.4

Obtén el dominio de $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ .

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Paso 3.4.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x$

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Paso 3.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 3.4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Paso 3.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Paso 3.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 3.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

Paso 3.6.1.3

$1.08738037$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

Paso 3.6.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

Paso 3.6.3.3

$1.08738037$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{2}$ Verdadero

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Verdadero

$x < - \sqrt{2}$ Verdadero

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Verdadero

Paso 3.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \sqrt{2}$ o $x > \sqrt{2}$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 5.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 5.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

Paso 7